Le système de coordonnées sphériques En coordonnées sphériques on considère le point appartenant à une sphère centrée sur O. Geneviève Tulloue 2001-2021 5.4.1 Calcul préliminaire; 5.4.2 Détermination géométrique des composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point Déplacement élémentaire: Le vecteur déplacement élémentaire MM ' (M’ très voisin de M) est: MM ' = dOM = d M = drer + rdjej + zk . 2.1.3.Coordonnées sphériques • Les coordonnées du point M dans R sont : r = OM x = r sin θ cosϕ θ =(Oz, OM) ⇒ y = r sin θ sin ϕ ϕ =(Ox, OH) z = r cosθ • La base sphérique associée à M est : er direction OM eθθθθ _|_ à OM, ds le plan HOz eϕ ϕ ϕ ϕ _|_ au plan Hoz. 3 - Déplacement élémentaire 2 - Vecteurs position, vitesse, accélération 4 - Cas du mouvement circulaire - uniforme ou non - savoir trouver l'accélération radiale et tangentielle et et x y z O e z e r e x e z e y e H r e z M e y coordonnées cylindriques : r z x z O e e x e z y e r r M e coordonnées sphériques … Déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques. ATTENTION: Les premiers exercices de cinématique proprement dite seront corrigés le mercredi 16. Un finissant d'un cours avancé de Physique mathématique vous dira que la solution est très simple, la forme générale de l'équation de Newton pour un système conservatif est m d2qi dt2 + ! Déplacement élémentaire: Le vecteur déplacement élémentaire MM ' (M’ très voisin de M) est: MM ' = dOM = d M = drer + rdjej + zk . (20) 2.2.3. On précisera l'expression de la dérivée par rapport au temps des vecteurs unitaires utilisés. -coordonnées cartésiennes : définition et déplacement élémentaire -coordonnées cylindriques : définition, base locale, déplacement élémentaire -coordonnées sphériques : définition, base locale, déplacement élémentaire-Mouvement du point matériel : position, vitesse, accélération dans les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques -Étude de mouvements : rectili Cas particulier: Si la trajectoire de M est plane, ce point peut être repéré par ses coordonnées polaires r et j. III] Système de coordonnées sphériques. en polaire : Vecteur accélération : . Contact. C.à.d. Physique. d = Fdcosα Si F ⊥ d, le travail est nul. 4– Déplacement élémentaire en cas de rotation élémentaire d’angle dθ. 5.3.5 Application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe connue par ses équations cylindro-polaires; 5.4 Composantes sphériques du vecteur déplacement élémentaire d'un point. MPSI - Electromagn´etisme - Longueurs, surfaces et volumes ´el´ementaires page 3/3 3 Coordonn´ees sph´eriques O M r θ ϕ r n θ dOM = drer +rdθeθ +rsinθdϕeϕ 3.1 Longueurs ´el´ementaires Système de coordonnées sphériques et base associée, vecteur déplacement élémentaire, et expression générale du vecteur vitesse (démonstration complète). I-1) Liens entre coordonnées . 1.2. Bonjour, je voudrais avoir un coup de main pour exprimer le déplacement élémentaire du vecteur OM dans une base sphérique (er,eteta,ephi). I – Les systèmes de coordonnées . est la composante radiale de l'accélération ; est la composante orthoradiale; est la composante axiale; en polaire : Vecteur déplacement élémentaire : --DamienDecout 2 janvier 2008 à 07:35 (CET) - L’objet de la cinématique est de décrire les mouvements d’une particule sans tenir compte des causes qui les produisent. © Geneviève Tulloue 2001-2021. . B) CINEMATIQUE DU POINT MATERIEL. Attention S’il existe des restrictions sur les déplacements possibles d’un point matériel, le nombre de coordonnées utiles pour décrire sa position et sa trajectoire peut être inférieur à 3. Coordonnées cartésiennes 2.2. Electrostatique. Cas particulier: Si la trajectoire de M est plane, ce point peut être repéré par ses coordonnées polaires r et j. III] Système de coordonnées sphériques. étant le déplacement élémentaire le long de la ligne de champ et kM() un nombre réel. Coordonnées sphériques, 3D. u " local (quel que soit l'angle φ). M(t+ dt) M(t) # e θ O θ dθ Fig. une symétrie sphérique, et même cylindrique, alors que le système de coordonnées cartésiennes a une symétrie cubique. Surface et volume élémentaire (en sphérique) Le vecteur détermine la position d'un point de l'espace par rapport à un repère rectangulaire direct . 1.3 Coordonnées sphériques θ er eθ eϕ y x z M m O r H r eθ er eϕ θ m H M O λ z mé r i d i e n parallèle On projette les différents vecteurs dans une base mobile orthonormée directe ( er r,eθ r,eϕ r) attachée au point M, définie de la manière suivante : er r (vecteur radial) r OM → = avec r OM r r = = →. On calcule leurs équations en résolvant les équations différentielles, si aM() G est non nul : dd d xy z x yz aa a == en coordonnées cartésiennes ; dd d rz rr z aa a θ θ == en coordonnées cylindriques ; dd sind r rr r aa a θϕ θ θϕ == en coordonnées sphériques. L'opérateur Nabla : … Définition du déplacement élémentaire 1.3. Chap I : Interaction électrostatique 2003/04 SM1-MIAS1 4 U.P.F. Onseplacedansleplanméridien MOz.Ceplan contientdoncO,~u z et~u ˆ ainsiquelesvecteurs~u r et~u .Parprojection: ˆ ! a) Circulation élémentaire : définition : si on considère un déplacement élémentaire du point M : dO M , alors la circulation élémentaire δC(M) du champ vectoriel a de … Une augmentation drdu rayon provoque un déplacement du point M le long de l’axe # e r, soit un déplacementélémentairedr# e r.Pourl’augmentationdedθ,aidonsnousdelafigure4. Coordonnées sphériques : complément Projection de la base (~u r;~u ;~u ’) sur (~u x;~u y;~u z) On introduit le vecteur unitaire ~u ˆ situé dans le planxOy,telque(~u x;~u ˆ) = ’. Attention varient lorsque M se déplace et dépendent donc du temps.. Vecteur vitesse : . Si α = (d ,F ) est aigu, le travail est positif, il s’agit d’un travail moteur. Le volume élémentaire est par conséquent : d d d dz . le déplacement en un déplacement élémentaire suivant le vecteur radial , qui correspond donc à une variation de la distance , et un déplacement (Invariance par rotation) .L'expression en coordonnées sphériques est : = .Il en résulte que la différentielle de l'énergie potentielle s'écrit := .2 L'intégration de la différentielle de conduit à :( ) = − . 9 Le même résultat peut être retrouvé en différenciant OM ou en calculant OM OM' (A retrouver par le calcul en TD). J'ai réussi dans les coordonnées cartésiennes et cylindriques mais je bloque sur les sphériques car les 3 paramètre sont r, teta et phi. de coordonnées polaire, défini dans la fiche 3, où l’on ne peut pas lui attribuer de coordonnée angulaire unique. Coordonnées cylindriques 2.3. Tahiti 2.2. Le flux de ⃗ sortant du volume élémentaire d τ est égal au produit de ⃗ par dτ : - La divergence de ⃗ est le flux de ⃗ par unité de volume - div est une fonction de ℝ3 ℝ. Définition des systèmes de coordonnées, relation entre eux, surfaces et volumes élémentaires. Le vecteur détermine le déplacement d'un mobile ponctuel entre les points et . Si α est obtus, le travail est négatif, il s’agit d’un travail résistant. Soit la base cylindrique. En effet, on caractérise un point M avec les coordonnées r,θ et z avec r étant le rayon du cylindre, θ l'angle polaire et z la troisième coordonnée du cylindre Complément mathématique Expression de grad en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques 1 En coordonnées cartésiennes FIGURE 1 Coordonnées cartésiennes On part d Coordonnées; Vecteur gradient. = dr rd rsin d„ Relations entre les coordonnées cartésiennes et les coordonnées cylindriques r = Ò x2 +y2 Le déplacement élémentaire de la particule M en coordonnées sphériques est donné par: dOM = dre r +rdqe q +r(sin q)dje j. z0 y0 z O M ϕ m ρ k i j e q e r θ e j e j x0 e r e j i O j j ⊗ e O k e r e q e r θ θ ϕ ϕ. • Pour s'écarter du pôle, l'avion doit augmenter l'angle θ ; juste après avoir quitté le pôle, il part donc dans la direction du vecteur ! Expressions des quantités élémentaires dans les 3 systèmes de coordonnées 2.1. ~u ˆ se situe donc également dans le plan méridien passantparM. Surface et volume élémentaire (en sphérique) La durée indicative du test est de 8 minutes. Travail des forces électrostatiques Coordonnées sphériques ; base locale et transport parallèle 1.a. Cours d'électromagnétisme : EM0-Outils mathématiques. Démontrer l' expression de la vitesse en coordonnées sphériques dans la base adaptée. Coordonnées sphériques 3. Donc privilégier des cas simples en cinématique, ou de la géométrie, et analyse dimensionnelle. Déplacement (différentielle) en coordonnées cartésiennes: La différentielle du déplacement se trouve facilement à partir de sa définition: d 푂푀 ⃑= d푙⃑=푑푥횤⃑+ dy횥⃑+ dz 푘 ⃑ Le volume élémentaire est défini par un déplacement élémentaire: dV = dx.dy.dz c)Déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques Méthode géométrique On peut déterminer de manière « géométrique », la valeur du vecteur déplacement élémentaire, en faisant varier légèrement une par une les coordonnées )(ρ,ϕ,z du point M de départ. Surfaces élémentaires et volume élémentaire 2. Commencer.